מרובע חסום ומרובע חוסםגאומטריה 571 · שיעור 26

גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות

שיעור 26: מרובע חסום ומרובע חוסם

פרק 7 · המעגל

1מרובע חסום: זוויות נגדיות 180 (עם הוכחה) ומשפט הפוך

2טרפז חסום, ומרובע חוסם מעגל

35 תרגילים, כולל תרגיל מורכב עם קוטר

משפט + הוכחה

מרובע חסום במעגל

ABCD חסום במעגל: כל קדקודיו על המעגל

∢A = x נשענת על הקשת BCD ← הקשת היא 2x

זווית היקפית = חצי הקשת (המרכזית)

∢C = y נשענת על הקשת BAD ← הקשת היא 2y

זווית היקפית = חצי הקשת

2x + 2y = 360 ⟹ x + y = 180

שתי הקשתות יחד – כל המעגל

📐 משפט: במרובע חסום סכום כל זוג זוויות נגדיות 180. ולהפך: אם סכום זוג זוויות נגדיות 180 – אפשר לחסום את המרובע במעגל

📐 טרפז חסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים

📐 משפט

זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

∢ACB = ∢AOB : 2

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

משפט

מרובע חוסם מעגל

ABCD חוסם מעגל: כל צלעותיו משיקות למעגל

מכל קדקוד יוצאים שני משיקים שווים

📐 משפט: במרובע חוסם מעגל סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני

AB + CD = BC + AD

מרובע חוסם מעגל

📐 משפט

שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים

📐 משפט

מרובע חוסם מעגל: סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני

AB + CD = AD + BC

תרגיל 1 · מרובע חסום · קל

ABCD מרובע חסום במעגל. ∢A = 3x + 10 , ∢C = 2x + 20
מצאו את x ואת ∢A ו־∢C

∢A + ∢C = 180

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180

3x + 10 + 2x + 20 = 180

מציבים

5x + 30 = 180 ⟹ 5x = 150

כינוס ומעבירים אגפים

x = 30

מחלקים ב־5

∢A = 3 · 30 + 10 = 100

מציבים x = 30

∢C = 2 · 30 + 20 = 80

מציבים x = 30

✅ פתרון סופי: x = 30 , ∢A = 100 , ∢C = 80

📐 משפט

מרובע חסום במעגל: סכום כל זוג זוויות נגדיות 180 מעלות

∢A + ∢C = 180

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 כלל

כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

תרגיל 2 · משפט הפוך · קל

במרובע ABCD: ∢A = 85 , ∢C = 95 , ∢B = 70
הוכיחו שאפשר לחסום את ABCD במעגל, ומצאו את ∢D

∢A + ∢C = 85 + 95 = 180

מחשבים

אפשר לחסום את ABCD במעגל

סכום זוג זוויות נגדיות 180

∢D = 180 − ∢B = 180 − 70 = 110

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180

✅ פתרון סופי: ABCD חסום במעגל , ∢D = 110

📐 משפט הפוך

אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות 180 מעלות ← אפשר לחסום אותו במעגל

📐 משפט

מרובע חסום במעגל: סכום כל זוג זוויות נגדיות 180 מעלות

∢A + ∢C = 180

תרגיל 3 · טרפז חסום · בינוני

ABCD טרפז (AB ∥ DC) החסום במעגל. ∢A = 70
מצאו את שאר זוויות הטרפז

AD = BC

טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים

∢B = ∢A = 70

בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

∢C = 180 − ∢A = 110

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180

∢D = 180 − ∢B = 110

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180

✅ פתרון סופי: ∢A = ∢B = 70 , ∢C = ∢D = 110

📐 משפט

טרפז חסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים

📐 משפט

בטרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים

📐 משפט

מרובע חסום במעגל: סכום כל זוג זוויות נגדיות 180 מעלות

∢A + ∢C = 180

תרגיל 4 · מרובע חוסם · קל

ABCD חוסם מעגל. AB = 7 , BC = 9 , CD = 10
מצאו את AD ואת היקף המרובע

AB + CD = BC + AD

במרובע חוסם סכומי הצלעות הנגדיות שווים

7 + 10 = 9 + AD

מציבים

AD = 17 − 9 = 8

מעבירים אגפים

היקף: 7 + 9 + 10 + 8 = 34

סכום הצלעות

✅ פתרון סופי: AD = 8 , ההיקף 34

📐 משפט

מרובע חוסם מעגל: סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני

AB + CD = AD + BC

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

תרגיל 5 · מורכב: מרובע חסום עם קוטר

ABCD חסום במעגל, AC = 12 קוטר. ∢BAC = 30 , ∢DAC = 45
מצאו את BC , AD ו־∢BCD

∢ABC = ∢ADC = 90

זווית היקפית הנשענת על קוטר ישרה

BC = AC : 2 = 6

ב־△ABC: ניצב מול זווית של 30 שווה לחצי היתר

∢DCA = 180 − 90 − 45 = 45

סכום הזוויות ב־△ADC

AD = DC

שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות

AD² + AD² = 144 ⟹ AD² = 72

משפט פיתגורס ב־△ADC

AD = √72 = √(36 · 2) = 6√2

שורש ופירוק שורש

∢BAD = 30 + 45 = 75

AC בתוך הזווית

∢BCD = 180 − 75 = 105

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180

✅ פתרון סופי: BC = 6 , AD = 6√2 ≈ 8.49 , ∢BCD = 105

📐 משפט

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)

📐 משפט

במשולש ישר זווית: הניצב שמול זווית של 30 מעלות שווה לחצי היתר

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 משפט הפוך

במשולש שבו שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות

📐 משפט

משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר

a² + b² = c²

📐 כלל

שורש: אורך תמיד חיובי

x² = 36 ⟹ x = 6

📐 כלל

פירוק שורש: מוציאים מהשורש ריבוע שלם

√72 = √(36 · 2) = 6√2

📐 כלל

אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים

📐 משפט

מרובע חסום במעגל: סכום כל זוג זוויות נגדיות 180 מעלות

∢A + ∢C = 180

📌 מה למדנו היום

📐 משפט

מרובע חסום במעגל: סכום כל זוג זוויות נגדיות 180 מעלות

∢A + ∢C = 180

📐 משפט הפוך

אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות 180 מעלות ← אפשר לחסום אותו במעגל

📐 משפט

טרפז חסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים

📐 משפט

מרובע חוסם מעגל: סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני

AB + CD = AD + BC

💡 חסום ← זוויות (נגדיות = 180). חוסם ← צלעות (סכומי צלעות נגדיות שווים).

בפרק הבא: השיעורים שלך בגאומטריה אנליטית

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא